Тройной интеграл Объём цилиндрического тела

Алгоритм метода интегральной суммы. Исследуемая физическая (геометрическая) система разделяется на n однотипных участков . Для каждого участка устанавливается некоторое приближенное значение аддитивного параметра pi . Проводится суммирование приближенных значений аддитивного параметра по всем n участкам P(n) =   pi Переход к пределу lim P(n) = P при n дает точное решение задачи, т.е. определяет значение искомого, аддитивного параметра для всей системы Опр. Интегральной суммой наз. сумма всех приближенных значений аддитивного параметра, определенных для каждого из n участков на которые была разделена исследуемая система . Опр. Определенным интегралом наз. предел интегральной суммы, полученный по условиям конкретной задачи. Существуют двойные, тройные, n – мерные, криволинейные, поверхностные интегралы.

Матричные уравнения

 Пример 15. Разложить матрицу  в произведение простейших. Выяснить, является ли матрица  обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу , если .

 ◄ Решение основано на предложении 1.6 (см. пример 9). Приводим элементарными преобразованиями матрицу  к виду ,

.

  Матрица  обратима и удовлетворяет соотношению

.

Умножая полученное равенство справа на матрицу

,

  получаем, что

.

Теперь умножаем новое равенство на матрицу

  слева,

.

 Матрица  обратима и . Поэтому

).

  Откуда следует что

. ►

  16. Указать элементарные матрицы, отвечающие следующим элементарным преобразованиям матрицы размера :

.

  17. Каким элементарным преобразованиям матрицы размера   соответствуют элементарные матрицы:

,

, .

 18. В матрице  произвести элементарные преобразования умножением на соответствующие элементарные матрицы  или  ( соответствуют строчным преобразованиям,  – столбцовым):

 а) ,

.

  б) ,

,

.

  19. Элементарными преобразованиями привести матрицу к виду :

  а) , б) , в) , г) ,

д) , е) , ж) , з) .

 20. Матрицы из упражнения 19 разложить в произведение простейших.

 21. Выяснить, является ли матрица  обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу . Матрица   имеет вид:

 а) , б) , в) .

Замечание. В следующей главе, основываясь на данном методе обращения матриц, мы построим более эффективную вычислительную схему для нахождения обратной матрицы, связанную с методом Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ, ЕЕ СВОЙСТВА.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, ЕГО СВОЙСТВА

Ранее рассматривалось понятие производной функции, ее
геометрический смысл, свойства, правила нахождения. Во многих технических задачах требуется решение обратной задачи: отыскание функции по заданной ее производной функции. Например,
задача об определении закона прямолинейного движения  материальной точки по заданной ее скорости .

Решение сформулированной задачи основано на понятии
первообразной функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция , определенная на промежутке ,
называется первообразной функцией (или просто первообразной) для функции  на , если в любой точке этого промежутка функция  дифференцируема и имеет производную , равную .

Двойной интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение площади области интегрирования S на значение функции f() в некоторой точке, т.к. для любого цилиндрического бруса с искривленным верхом можно построить брус постоянной высоты, но с таким же основанием S и объемом V , т.е. f() = V/S. Точка с координатами () всегда существует в области D. Вычисление двойных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования.
Определение функции нескольких переменных