Тройной интеграл Объём цилиндрического тела

Алгоритм метода интегральной суммы. Исследуемая физическая (геометрическая) система разделяется на n однотипных участков . Для каждого участка устанавливается некоторое приближенное значение аддитивного параметра pi . Проводится суммирование приближенных значений аддитивного параметра по всем n участкам P(n) =   pi Переход к пределу lim P(n) = P при n дает точное решение задачи, т.е. определяет значение искомого, аддитивного параметра для всей системы Опр. Интегральной суммой наз. сумма всех приближенных значений аддитивного параметра, определенных для каждого из n участков на которые была разделена исследуемая система . Опр. Определенным интегралом наз. предел интегральной суммы, полученный по условиям конкретной задачи. Существуют двойные, тройные, n – мерные, криволинейные, поверхностные интегралы.

Матричные уравнения

 Пример 13. а) Найти матрицу .

  ◄ Пусть , тогда

Поэтому

  ►

 б) Найти матрицу , где

.

  ◄ Рассмотрим матрицы  и :

,

.

Но тогда

. ►

  13. Вычислить значение матричного выражения:

 а) , если ;

 б) , если ;

 в) , если

, .

 14. Вычислить .

 Пусть  – многочлен, , , . Многочленом  от матрицы  называется матричное выражение

, где .

 Пример 14. Найти значение , если

.

  ◄ По определению

. ►

 15. Найти значение :

 а) ;

 б) ;

 в) .

 Аппарат элементарных матриц позволяет находить обратную матрицу, если исходная матрица обратима.

Свойство 6 называют обычно свойством инвариантности
формул интегрирования и используют при вычислении интегралов (замена переменной).

ПРИМЕР. Равенство  в силу свойства 6 можно записать в виде , где  (или ) – произвольная дифференцируемая функция, и использовать в качестве формулы для вычисления многих интегралов. Например, , .

Заметим, что более общая формула  ( – произвольное число, ) следует из равенства , если использовать свойство 6.

Аналогично из каждой формулы дифференцирования элементарной функции   путем ее обращения получается "интегральная" формула . Подобные формулы составляют таблицу основных интегралов, которые называются для краткости "табличными".

В практике вычисления неопределенных интегралов обычно пользуются специальными справочниками.

Двойной интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение площади области интегрирования S на значение функции f() в некоторой точке, т.к. для любого цилиндрического бруса с искривленным верхом можно построить брус постоянной высоты, но с таким же основанием S и объемом V , т.е. f() = V/S. Точка с координатами () всегда существует в области D. Вычисление двойных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования.
Определение функции нескольких переменных