Тройной интеграл Объём цилиндрического тела

Алгоритм метода интегральной суммы. Исследуемая физическая (геометрическая) система разделяется на n однотипных участков . Для каждого участка устанавливается некоторое приближенное значение аддитивного параметра pi . Проводится суммирование приближенных значений аддитивного параметра по всем n участкам P(n) =   pi Переход к пределу lim P(n) = P при n дает точное решение задачи, т.е. определяет значение искомого, аддитивного параметра для всей системы Опр. Интегральной суммой наз. сумма всех приближенных значений аддитивного параметра, определенных для каждого из n участков на которые была разделена исследуемая система . Опр. Определенным интегралом наз. предел интегральной суммы, полученный по условиям конкретной задачи. Существуют двойные, тройные, n – мерные, криволинейные, поверхностные интегралы.

Матричные уравнения

 Пример 11. Найти матрицу ,

если

,

.

  ◄ Приводим подобные члены в исходном выражении для матрицы ,

.

Так как

,

.  ►

 8. Найти матрицу , если:

 а)

;

  б)

.

Часто сложное матричное выражение можно до его вычисления привести к более простому виду, используя свойства операций над матрицами.

 Пример 12. Найти матрицу

,

если

  ◄ Заметив, что

,

где

,

получаем, что

. ►

  9. Найти матрицу , если:

 а) ;

 б) .

 10. Найти матрицу , если:

 а) ;

 б) ;

 в) .

 11. Найти матрицу , если

.

  12. Найти матрицу , если:

 а) ;

 б) .

 Введём обозначение для степени матрицы

,

И заметим, что ввиду некоммутативности операции умножения матриц

.

  Из условия согласования следует, что степень матрицы определена только для квадратных матриц, а степень произведения  определена для матриц прямоугольного вида. При этом число строк матрицы  должно совпадать с числом столбцов матрицы .

При вычислении степеней матриц и матричных выражений следует попытаться среди малых степеней  найти максимально простую матрицу с тем, чтобы использовать её для упрощения вычисления матрицы .

ПРИМЕР. Вычислить интеграл .

РЕШЕНИЕ. В силу свойства 4 имеем .

Согласно свойству 5 выполняются равенства: , .

Из ранее рассмотренных примеров имеем  и . Поэтому . Отсюда в силу свойства 3 .

 Свойство 6. Пусть  – первообразная для  на ; функция  – произвольная дифференцируемая на  функция, множество значений которой совпадает с . Тогда равенство  сохраняется, если заменить в обеих частях его переменную интегрирования  функцией

.

В самом деле, вычисляя дифференциал сложной функции , получим выражение

,

совпадающее с подынтегральным выражением интеграла, что
доказывает справедливость формулы.

Двойной интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение площади области интегрирования S на значение функции f() в некоторой точке, т.к. для любого цилиндрического бруса с искривленным верхом можно построить брус постоянной высоты, но с таким же основанием S и объемом V , т.е. f() = V/S. Точка с координатами () всегда существует в области D. Вычисление двойных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования.
Определение функции нескольких переменных