Тройной интеграл Объём цилиндрического тела

Алгоритм метода интегральной суммы. Исследуемая физическая (геометрическая) система разделяется на n однотипных участков . Для каждого участка устанавливается некоторое приближенное значение аддитивного параметра pi . Проводится суммирование приближенных значений аддитивного параметра по всем n участкам P(n) =   pi Переход к пределу lim P(n) = P при n дает точное решение задачи, т.е. определяет значение искомого, аддитивного параметра для всей системы Опр. Интегральной суммой наз. сумма всех приближенных значений аддитивного параметра, определенных для каждого из n участков на которые была разделена исследуемая система . Опр. Определенным интегралом наз. предел интегральной суммы, полученный по условиям конкретной задачи. Существуют двойные, тройные, n – мерные, криволинейные, поверхностные интегралы.

Матричные уравнения

 Пример 10. Найти матрицу , если

.

  ◄ Матрица  существует, так как порядки сомножителей согласованны

,

и имеем порядок . Благодаря свойству ассоциативности операции умножения матриц последовательность её вычисления может быть различной, например,   или .

 Напомним, что при вычислении произведения двух матриц используется скалярное умножение двух арифметических векторов порядка . Будем называть это скалярное умножение «простым», если , и – «сложным», если  (сокращённо ПСУ и ССУ). Посчитаем количества ПСУ и ССУ, которые необходимо совершить, чтобы вычислить матрицу   указанными выше способами.

 В первом случае последовательность вычислений такова:

 1) – 6 ССУ

2)  – 2 ССУ

3)  – 8 ПСУ.

  Всего: 8 ССУ и 8 ПСУ.

 Во втором случае:

1)  – 12 ПСУ

2)  – 12 ССУ

3)  – 8 ССУ.

  Всего: 20 ССУ и 12 ПСУ.

 Преимущество первого способа над вторым очевидно. Но есть ещё один порядок умножения, позволяющий сократить объём вычислений. Именно, .

 В самом деле,

1)  – 3 ССУ

2)  – 2 ССУ

3)  – 8 ПСУ.

  Всего: 5 ССУ и 8 ПСУ.

 Анализ трёх рассмотренных способов вычисления матрицы  позволяет дать рекомендацию: при вычислении матричных произведений с числом сомножителей больше 2-х целесообразно начинать вычисление произведений с наименьшим числом столбцов у правого сомножителя, и заканчивать вычислением произведений с наибольшим числом столбцов у правого сомножителя. ►

 7. Найти произведение , если:

 а) ;

 б) ;

 в) ;

 г) .

 При вычислении матричных выражений вида  предварительно следует привести подобные члены, если это возможно.

 Свойство 4.  –

аддитивность по функции операции интегрирования, т.е. неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме неопределенных интегралов от этих функций (предполагается, что все участвующие в равенстве интегралы существуют). При этом, если  и , то записывают , объединяя  и  в одну произвольную постоянную .

Свойство 4 верно для суммы конечного множества слагаемых.

 Свойство 5. , ,  –

Однородность операции интегрирования, т.е. при вычислении неопределенного интеграла постоянный ненулевой множитель можно
выносить за знак интеграла (соответственно можно вносить под знак интеграла).

Двойной интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение площади области интегрирования S на значение функции f() в некоторой точке, т.к. для любого цилиндрического бруса с искривленным верхом можно построить брус постоянной высоты, но с таким же основанием S и объемом V , т.е. f() = V/S. Точка с координатами () всегда существует в области D. Вычисление двойных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования.
Определение функции нескольких переменных