http://domprim.ru
Предел последовательности Производная функции

Дивергенция есть сумма скоростей изменения компонент поля в окрестности выбранной точки вдоль координатных осей. Если около выбранной точки в направлении координатных осей среднеарифметическая скорость изменения поля положительна, то данная точка является «источником» поля, если отрицательна, то «стоком». Теперь формулу Остроградского – Гаусса можно переписать в векторной форме

Провести полное исследование поведения функции и построить её график:

а) y = ; б) y = (x 1); в) y =.

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. План полного исследования поведения функции может быть, например, таким:

Область определения.

Чётность , нечётность, периодичность.

Непрерывность. Поведение в окрестности точек разрыва и у границ области определения. Вертикальные асимптоты.

Асимптотическое поведение при x®¥. Наклонные или горизонтальные асимптоты.

Интервалы монотонности, экстремумы.

Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика.

Точки пересечения с осями координат.

РЕШЕНИЯ.

а) y = . Область определения: x¥ ,+¥). Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. Функция непрерывна. При x®¥ ~= x, что говорит о наличии асимптот. Но при x®¥ все линейные функции y=kx+b с одинаковым k эквивалентны, поэтому для нахождения асимптот этого рассуждения не достаточно. Проведём вычисления по известным формулам:

k ==(/x) = 1;

b =(f(x)  kx)= ( x) = ( x) =

= .

Применим теперь эквивалентность (1+t)1 ~ t при t® 0. В нашем случае =, t = . Поэтому b = = 4.

Асимптота при x®+¥ найдена: y = x+4.

Анализ проведённых вычислений показывает, что прямая y = x+4 является асимптотой и при x®¥.

 Для ответа на вопросы пункта 5) необходимо изучение знаков первой производной, находим её:

y¢ = (x1/3 x+6)2/3)¢ =  x 2/3 x+6)2/3 + x1/3 x+6)1/3 = .

Множитель  знака не меняет, множитель x+2 меняет знак в точке x= 2, множитель  меняет знак в точке x= 6. Применяя метод интервалов, получим три интервала знакопостоянства производной, изображённые на рис.39, там же изображёны стрелки, отражающие возрастание или убывание функции.

Для ответа на вопросы пункта 6) необходимо изучение знаков второй производной, найдём её:

y¢¢ = ( x 2/3 x+6)2/3 + x1/3 x+6)1/3)¢=  .

Перемена знака дроби происходит только в точке x = 0. Получившиеся два интервала сохранения выпуклости или вогнутости изображены на рис.39 вместе с соответствующими рисунками.

Далее предлагается сделать ещё один вспомогательный рисунок, на котором на ось x наносятся все точки, которые проявились при рассмотрении пунктов 1)  6) плана исследования. На каждом из получившихся интервалов схематично изобразим поведение функции с помощью изогнутых стрелок или отрезков кривых одновременно отражая возрастание или убывание функции и её выпуклость или вогнутость рис.40.

Переходим к построению графика. Полученные “кусочки” графика нужно “склеить”, вычислив значения функции в точках, разделяющих интервалы, или приблизить к асимптотам. Имеем: y(6) = 0, y(2) = 2, y(0) = 0. Для более точного построения желательно вычислить в этих точках и значения первой производной. В нашем случае  y¢(6) не существует, так как при x® 6 слева или справа пределом для y¢ являются бесконечности разных знаков множитель x+6) содержится в знаменателе в нечётной степени);

y¢(2) = 0, из чего следует: касательная к графику в точке (2, 2) горизонтальна; y¢(0) = ¥ касательная к кривой вертикальна.

Ещё одно замечание: часто перед построением графика заполняют таблицу вместо того или в дополнение к тому, что сделано на рис.40, приведём её также (см. рис.42).

Ответ. График изображён на рис.41; ymin=2 при x=2, ymax=0 при x=6, точка перегиба графика (0,0).

 

Рис.39 Рис.40 

  Рис.41

 

x

(–¥,–6)

–6

(–6,–2)

–2

(–2,0)

0

(0,+¥)

y/

+

не $

0

+

¥

+

 

y//

+

¥

+

+

+

не $

 

y

0

2

0

 

Локальный

max

Локальный

min

перегиб

 

Рис.42

б) y = (x 1). Область определения: x¥ ,1)  (1,+¥ ). Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. Функция непрерывна всюду, кроме точки x = 1. Для выяснения поведения функции в окрестности точки разрыва вычислим односторонние пределы:

  = ¥= +¥ ;

(x 1)= 2e- ¥ = 20 = 0,

(x 1)= 2e+ ¥ = 2+) = ¥.

Делаем вывод о наличии односторонней вертикальной асимптоты x = 1. Переходим к изучению поведения функции при x®¥.

(x 1) = ¥e0 = ¥ ¥.

Ищем наклонные асимптоты:

k = =  = ×= 1e0 = 1;

предел при x®¥ такой же.

b =(f(x)  kx) = ((x 1) x) = (x ( 1)  ) =

=(x) = 11=0,

такой же предел получается и при x®¥. Следовательно, прямая y = x является асимптотой как при x ® +¥, так и при x®¥.

 Вычисляем y¢(x):

y¢ = + (x1)() =(1) =,

видим, что y¢(x) всегда положительна, следовательно, функция возрастает на каждом из интервалов ¥ ,1) и (1,+¥ ), составляющих область определения.

  Вычисляем y¢¢(x):

y¢¢(x) = ((1))¢ =  ;

знак второй производной меняется только в точке x =  .

 Делаем вспомогательные рисунки (рис.43), вычисляем значение

y(5/3) = 8/(3e) и строим график. Ответ: график изображён на рис.44; экстремумов нет, точка перегиба графика (5/3, 8/(3e)).

Рис.43  Рис.44

в) y =. Область определения: x(0, 1)  (1,+¥ ). Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. В точках области определения функция непрерывна. Исследуем поведение функции у границы области определения: ==0. Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва:  = +¥, так как функция ln x при x >1 положительна;  = ¥. Вывод: прямая x = 1  вертикальная асимптота. Переходим к изучению поведения функции при x® +¥== 0; отсюда следует, что функция имеет горизонтальную асимптоту y = 0.

 Вычислим производные: y¢ = , она всегда отрицательна;

 y¢¢(x) =. Знак второй производной меняется при перемене знака множителя (2 + ln x), что происходит в точке x = e 2, и при перемене знака множителя ln3 x, что происходит в точке x = 1. Делаем вспомогательные рисункирис.45, вычисляем значение y(e 2) = 1/2 и строим график.

Ответ. График изображён на рис.46; экстремумов нет, точка перегиба графика (e 2, 1/2).

Рис.45  Рис.46

Гл. 1. Алгебра матриц

В этой главе, прежде всего, строится матричное исчисление. На множестве матриц, определяемых как таблицы вещественных чисел, вводятся операции (сложения, умножения, умножения на число, транспонирования и обращения) и изучаются свойства этих операций. Выясняется, что наряду со свойствами операций, наследуемыми матрицами у вещественных чисел, у них появляются и новые свойства, которыми вещественные числа не обладают. Например, умножение матриц оказывается некоммутативным.

После этого обсуждается проблема разложения матрицы на простейшие. Оказывается, что любую матрицу единственным образом можно представить в виде суммы матриц, каждая из которых обладает только одним ненулевым элементом. Представление матрицы в виде произведения простейших является более сложным и нуждается в построении специального аппарата элементарных матриц, оправдывающего себя в последующих разделах курса.

Теорема 2. (Критерий независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования)

Пусть функции  непрерывны в односвязной области DR2. Чтобы интеграл  не зависел от пути интегрирования в области D, необходимо и достаточно выполнения равенства:  в любой точке .

Доказательство.

1) Необходимость:

 

Доказать:  в любой точке

Предположим, что в точке  не выполняется равенство, т.е.

Пусть   Построим окружность (C) с центром в точке  столь малого радиуса , чтобы во всех точках круга S, ограниченного этой окружностью, выполнялось неравенство  Это требование можно выполнить, исходя из непрерывности функции  Тогда по формуле Грина:

То есть есть замкнутый контур, принадлежащий области D, по которому интеграл не равен 0. Это противоречит условию теоремы. Следовательно, в любой точке   выполняется равенство:

  Что и требовалось доказать.

Элементы теории множеств

Понятие "множество" – неопределяемое понятие. Под множеством понимается "набор", "коллекция", "совокупность" и т.п. отличающихся друг от друга объектов, объединенных каким-либо общим свойством. Предметы или объекты, составляющие множество, называются элементами множества. Обычно множества обозначают большими буквами , а их элементы – малыми буквами  преимущественно латинского алфавита.

ПРИМЕР. Доказать, что . РЕШЕНИЕ. Два множества совпадают, если каждое из них является подмножеством другого.

ПРИМЕР. Покажем, что множество  – счетное. Рассмотрим множество положительных рациональных чисел . Элементы множества  можно расположить в виде бесконечной прямоугольной таблицы Математическая логика Для записи определений, теорем, математических рассуждений в курсе высшей математики целесообразно применять символику, используемую в математической логике.

ПРИМЕР. Задано высказывание , , здесь   – действительные числа. Прочитать высказывание, выяснить его смысл, установить – истинно оно или ложно, построить отрицание высказывания.

Грани числовых множеств Напомним свойства множества всех действительных чисел .

Пределом интегральной суммы ( 12 ) при n является криволинейный интеграл 2-ого рода ( 11 ) или J =  , т.е. криволинейный интеграл 2 рода есть интеграл вдоль кривой от скалярного произведения вектора силы и вектора смещения. Его механический смысл - работа по перемещению тела в поле переменных сил. Произведенная работа может зависеть или не зависеть от выбранного пути при перемещении из точки А в точку В . Это свойство является важнейшей характеристикой всякого векторного поля. Определим условия независимости криволинейного интеграла от контура интегрирования. Теорема . Криволинейный интеграл 2-ого рода ( 11 ) вдоль кривой L , соединяющей точки А и В, не зависит от пути интегрирования при выполнении любого из следующих условий
Производная функции