Предел последовательности Производная функции

Поток векторного поля через поверхность. Пусть даны в.п. (M) = {P, Q, R} и двухсторонняя ориентированная поверхность G с нормальным вектором (M) = { }. Опр. Выберем на G бесконечно малую площадку S. Считаем, что во всех ее точках векторы  ,  имеют постоянное значение. Тогда скалярное произведение этих векторов и площади S наз. потоком вектора  через бесконечно малую площадку. Пусть  - векторное поле скоростей потока жидкости. Тогда *П это объем жидкости, протекающей через S за единицу времени в направлении внешней нормали к S, т.к. ||n - высота бруса жидкости, S - его основание. Если угол между векторами тупой и cos(^) < 0, то направления нормали и потока жидкости противоположны.

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции  по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) , ;

б) , .

Решение.

а) Функция  имеет две особые точки  и . Отметим их на плоскости Z, проведем 2 окружности с центром в точке , проходящие соответственно через точки  и . Следовательно, имеется три области, в каждой из которых функция  является аналитической:

1);

2) кольцо ;

3) область , являющаяся внешностью круга .

Найдем ряды Лорана для функции  в каждой из этих областей, используя формулу

  (1)

справедливую при .

Представим функцию  в виде суммы элементарных дробей:

.

1) Рассмотрим круг . Запишем элементарные дроби  и  в виде , где  при . Представим функцию  следующим образом: . Теперь к таким дробям применима формула (1).

Так как в рассматриваемой области , то в силу формулы (1) . Так как  и тем более  (если , то тем более ), значит, в силу формулы (1) .

Следовательно, ==

Полученное разложение содержит только правильную часть ряда Лорана.

2) Рассмотрим кольцо . В этой области запишем рассматриваемую функцию в виде . В знаменателях дробей мы записали выражения вида , где .

Так как , то  и в силу формулы (1) . Так как , то, как и в предыдущем случае, .

Следовательно, ==.

Полученное разложение содержит и правильную, и главную часть ряда Лорана.

3) Рассмотрим область . В этой области , поэтому в силу формулы (1) .

В рассматриваемой области , значит  и поэтому

.

Функцию  представим в виде . В силу полученных разложений имеет место равенство

=.

Полученное разложение содержит только главную часть ряда Лорана.

б) Функция  имеет 2 особые точки  и , отметим их на плоскости Z. Точка  совпадает с точкой . Проводим окружность с центром в точке , проходящую через точку .

Следовательно существуют две области, в каждой из которых функция  является аналитической:

1) кольцо

2) кольцо

Найдем ряды Лорана для функции  в каждой из этих областей, используя формулу (1). Представим функцию  в виде суммы элементарных дробей:

1) Требуется получить разложение функции  по степеням z–1 в области . Первая дробь уже представляет собой степень . Для того, чтобы вторую дробь представить в искомом виде, сделаем замену , тогда  и . Дробь  разложим по степеням  как в предыдущем примере. При  воспользуемся представлением:

;

Сделаем обратную замену. Получим, что при  функция  представима в виде

.

Полученное разложение содержит правильную и главную часть ряда Лорана.

2) Аналогично, сделав замену , получаем представление дроби  в области  

Сделав обратную замену, получаем, что при  функция  представима в виде:

.

В первом случае главная часть ряда Лорана содержит только одно слагаемое, во втором случае ряд Лорана состоит только из одной главной части.

Физический и геометрический смысл тройного интеграла.

1) Если  при  DR3, то тройной интеграл от такой функции по области D равен объему тела D:

2) Если в каждой точке объемной области D задана плотность распределения масс , то тройной интеграл от этой плотности по области D равен массе тела D:

.

Векторный анализ. Криволинейные интегралы 1-ого рода. Задача: Кусочно-гладкая кривая линия L на плоскости соединяет точки А и В и определяется уравнением y = y(x) , [a,b] или x = x(t), y = y(t) (t1<t<t2). Вдоль кривой распределены массы с плотностью (M) для каждой точки М. Вычислим общую массу всей системы метод интегральной суммы. 1) Операция разбиения. Разделим кривую L на n участков некоторыми точками А0 = А, А1, . . . , Аn = В. Соединим соседние точки отрезками АiАi+1 длиной si и выделим на каждом из них некоторую точку Мi(). Приближенно масса отдельного отрезка равна mi = (Mi) si , Массу всех отрезков определяет интегральная сумма m(n) = (Mi) si


Производная функции