Предел последовательности Производная функции

Поток векторного поля через поверхность. Пусть даны в.п. (M) = {P, Q, R} и двухсторонняя ориентированная поверхность G с нормальным вектором (M) = { }. Опр. Выберем на G бесконечно малую площадку S. Считаем, что во всех ее точках векторы  ,  имеют постоянное значение. Тогда скалярное произведение этих векторов и площади S наз. потоком вектора  через бесконечно малую площадку. Пусть  - векторное поле скоростей потока жидкости. Тогда *П это объем жидкости, протекающей через S за единицу времени в направлении внешней нормали к S, т.к. ||n - высота бруса жидкости, S - его основание. Если угол между векторами тупой и cos(^) < 0, то направления нормали и потока жидкости противоположны.

Задание 4. Определить вид кривой .

Решение.

.

Откуда

Выразим  из каждого уравнения:

Исключим  из уравнений:

.

,

, ,

,

  - уравнение гиперболы.

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами:

  а).

 б).

а). Искомым множеством является пересечение кольца   и внутренней части угла :

б).  Кривую  запишем в декартовых координатах:

Итак, .

Или ,

  - Лемниската Бернулли.

Неравенство  определяет точки, лежащие на лемнискате и внутри ее. Неравенство  определяет точки, лежащие правее прямой Искомым множеством является пересечение этих областей:

Криволинейные интегралы.

1. Криволинейный интегралы I рода (по длине дуги).

Пусть функция z = f (x; y) определена и непрерывна в точках дуги  AB гладкой кривой l, имеющей уравнение .

Разобьем дугу AB произвольным образом на n дуг точками  пусть  – длина дуги  На каждой из n дуг выберем произвольно точку и умножим значение функции в этой точке на длину.

Определение 1. Интегральной суммой для функции f (x; y) по дуге AB называется сумма вида:

Определение 2. Криволинейным интегралом от функции f (x; y) по дуге AB (или криволинейным интегралом I рода) называется предел интегральной суммы  при условиях:

1)  и  

2) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения дуги AB на части, ни от выбора на каждой из частей точек  

.

Векторный анализ. Криволинейные интегралы 1-ого рода. Задача: Кусочно-гладкая кривая линия L на плоскости соединяет точки А и В и определяется уравнением y = y(x) , [a,b] или x = x(t), y = y(t) (t1<t<t2). Вдоль кривой распределены массы с плотностью (M) для каждой точки М. Вычислим общую массу всей системы метод интегральной суммы. 1) Операция разбиения. Разделим кривую L на n участков некоторыми точками А0 = А, А1, . . . , Аn = В. Соединим соседние точки отрезками АiАi+1 длиной si и выделим на каждом из них некоторую точку Мi(). Приближенно масса отдельного отрезка равна mi = (Mi) si , Массу всех отрезков определяет интегральная сумма m(n) = (Mi) si


Производная функции