Решение примерного варианта контрольной работы №2
Задача 1. Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму области D, ограниченной заданными линиями:
. Построить чертеж области интегрирования.
Указание. Считать плотность вещества
.
Решение.
Область D (рис. 11) представляет собой криволинейный треугольник MNK, где
. Для определения координат точки М решаем систему уравнений:
Область D – правильная в направлении оси Oх, она задается системой неравенств:
где
– это уравнения линий, ограничивающих область слева и справа.
Найдем статический момент пластинки MNK относительно оси Ox по формуле (11):
.
Для вычисления двойного интеграла сводим его к повторному интегралу в соответствии с системой неравенств, задающих область D:
Ответы: Mx = 4,125 ед. стат. момента; область интегрирования на рисунке 11.
Задача 2. Используя тройной интеграл в цилиндрической системе координат, вычислить массу кругового цилиндра, нижнее основание которого лежит в плоскости xOy, а ось симметрии совпадает с осью Oz, если заданы радиус основания R = 0,5, высота цилиндра H = 2 и функция плотности
, где r – полярный радиус точки.
Решение.
Массу кругового цилиндра можно вычислить, используя тройной интеграл по области V, по формуле (12):
,
где
– функция плотности, а V – область, соответствующая цилиндру.
Переходя к трехкратному интегралу в цилиндрических координатах, получаем:
,
где область интегрирования V (круговой цилиндр) можно задать системой неравенств:
при R = 0,5 и H = 2.
Для определения массы цилиндра нужно вычислить трехкратный интеграл:
.
Вычислим внутренний интеграл по переменной z:
.
Затем находим интеграл по переменной r:
Третий этап – вычисление внешнего интеграла по переменной φ:
.
Ответ:
ед. массы.
Доказательство. Рассмотрим функцию
;
ее свойства:
– непрерывна на
; по теореме Вейерштрасса множество ее значений на
– ограниченное множество;
– дифференцируемая на
функция; по теореме II Вейерштрасса значения
и
достигаются в точках сегмента
.
Поскольку
, то хотя бы одно из этих значений достигается внутри сегмента. По теореме Ферма найдется точка
, в которой
.
Итак, указали
так, что
.
Интегрирование простейших тригонометрических функций. При интегрировании
выражений вида (где m и n – натуральные
числа) рекомендуется принимать во внимание следующие правила.
1) Если
обе степени четные, то применяются формулы «понижения степени»: ;
.
2) Предположим, что какое-либо из чисел m и
n – нечетное. Например, n=2k+1. В этом случае одну из степеней функции cosx «отщепляют»,
чтобы внести под знак дифференциала (т.к. ). В оставшемся выражении
с помощьюосновного тригонометрического
тождества
выражают через
(
). После преобразования подынтегрального выражения
(и с учетом свойства линейности) получается алгебраическая сумма интегралов вида
, каждый из которых можно найти с помощью формулы 2) из
таблицы 2:
.