Тройной интеграл Объём цилиндрического тела

Системы линейных однородных уравнений. Система т линейных уравнений с п неизвестными называется системой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю, Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как она всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение (0; 0; …; 0). Если в системе (9) т=п, а ее определитель отличен от нуля, то такая система имеет только нулевое решение. Ненулевые решения, следовательно, возможны лишь для таких систем линейных однородных уравнений, в которых число уравнений меньше числа переменных или при их равенстве, когда определитель системы равен нулю.

Справочный материал к выполнению контрольной работы №2

Векторное поле

Поток векторного поля через поверхность

Если в любой точке M(x, y, z) области VxOyz задан вектор , то говорят, что в области V задано векторное поле .

Примеры: силовое поле , поле скоростей  текущей жидкости, поле электростатических напряженностей .

Векторное поле является заданным, если задана векторная функция   от координат точки M(x, y, z). Как правило, функцию задают в виде , где P (x, y, z), Q (x, y, z),  R (x, y, z) являются функциями, о которых предполагают, что они непрерывны и имеют непрерывные частные производные по x, y, z в области V (область V может совпадать со всем пространством).

Аналогично определяют плоское векторное поле  в двумерной области D: .

Пусть в области VxOyz задана двусторонняя поверхность σ, в каждой точке которой определен орт внешней нормали  – единичной вектор, коллинеарный нормали к поверхности в этой точке и направленный в сторону, которую условились считать «внешней» стороной поверхности.

Поток векторного поля  через поверхность σ – это интеграл по поверхности σ от скалярного произведения вектора  на орт нормали  к поверхности (рис. 6):

.

Поток – это интегральная характеристика векторного поля, она является скалярной величиной. Например, для поля скоростей  текущей жидкости поток характеризует количество жидкости, проходящей через поверхность σ в направлении «внешней» нормали в единицу времени.

Если поверхность σ задана уравнением F(x, y, z) = 0, то вектор ее нормали коллинеарен градиенту функции, задающей поверхность: , следовательно, орт нормали

 .

Для вычисления поверхностного интеграла  поверхность σ проектируют на одну из координатных плоскостей, например, в область DxOy. Тогда , и вычисление потока сводится к вычислению двойного интеграла:

,  (16)

где знак «+» следует брать в случае, когда вектор  и орт «внешней» нормали , указанный в задаче, совпадают по направлению; если эти векторы противоположны по направлению, следует брать знак «–».

 При вычислении двойного интеграла  нужно подынтегральную функцию выразить через переменные x, y, используя заданное уравнение поверхности F(x, y, z) = 0.

Поток вектора через замкнутую поверхность σ в направлении ее «внешней» нормали обозначают .

Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция

Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между интегралом по замкнутой поверхности σ в направлении ее «внешней» нормали и тройным интегралом по области V, ограниченной этой поверхностью:

.

Пусть  – векторное поле, заданное в области VxOyz . Дивергенцией векторного поля  называется скалярная функция

, (17)

которая характеризует наличие источников (если > 0) и стоков (если < 0), или их отсутствие (если = 0) векторного поля в точке М.

Используя выражения для дивергенции и для потока вектора  через замкнутую поверхность σ, можно записать формулу Остроградского-Гаусса в векторном виде:

,  (18)

т.е. поток вектора  через замкнутую поверхность σ в направлении ее «внешней» нормали (рис. 7) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по области V, ограниченной поверхностью σ.

 

 

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

 

1. , .

2. ,

.

Ответы. 1. ;

;

.

2. ; .

Ряды.Числовые ряды. Сложную функцию f(x) часто представляют как линейную комбинацию нескольких простых функций f(x) @ Pn(x). Это упрощает ее исследование. Чем больше простейших функций используется в Pn(x) , тем точнее приближение. При бесконечном росте числа слагаемых (n ® ¥) графики f(x) и ее апраксимации Pn(x)  могут совпасть полностью. Задачу нахождения аппраксимирующих функций решает теория рядов. Опр. Бесконечной числовой последовательностью наз. последовательность значений функции f(x) (определенной на всей числовой оси) при целочисленных значениях аргумента. Обозначения: un = f(n) , где n = 1, 2, 3, . . . или u1, u2, u3, . . . , un, . . . 
Решение типовых задач