Тройной интеграл Объём цилиндрического тела

Системы линейных однородных уравнений. Система т линейных уравнений с п неизвестными называется системой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю, Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как она всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение (0; 0; …; 0). Если в системе (9) т=п, а ее определитель отличен от нуля, то такая система имеет только нулевое решение. Ненулевые решения, следовательно, возможны лишь для таких систем линейных однородных уравнений, в которых число уравнений меньше числа переменных или при их равенстве, когда определитель системы равен нулю.

Справочный материал к выполнению контрольной работы №2

Двойной интеграл

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Пусть функция 2-х переменных z = f (x, y) задана и непрерывна в замкнутой области xOy. Двойной интеграл от этой функции по области D имеет вид: , где .

Область xOy называется правильной в направлении оси Oy, если всякая прямая, параллельная оси Oy пересекает границу области не более, чем в двух точках (за исключением участков границы, параллельных Oy).

Если область D – правильная в направлении оси Oy (рис. 2), то ее можно задать системой неравенств:

В этом случае двойной интеграл от функции z = f (x, y) по области D можно вычислить при помощи двукратного (повторного) интеграла:

. Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}.

Здесь внутренний интеграл вычисляется по переменной y в предположении, что x – постоянная (x = const); результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция Ф (x). Затем вычисляется внешний интеграл от Ф (x) по переменной x в постоянных пределах, в результате получается число.

Пример. Вычислить , если , D:

Если область D – правильная в направлении оси Oх (рис. 3), то она задается системой неравенств:  и тогда двойной интеграл сводится к повторному интегралу по формуле:

.

Здесь внутренний интеграл вычисляется по переменной x в предположении, что y = const; результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция от y, которая затем интегрируется в постоянных пределах.

Если область D – правильная в обоих направлениях, то повторный интеграл не зависит от порядка интегрирования, и для вычисления двойного интеграла можно использовать любой из двух порядков интегрирования:

.

  Если область D – неправильная в обоих направлениях, то ее можно разбить на правильные части и воспользоваться свойством аддитивности двойного интеграла: .

 

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Пусть область D задается в полярных координатах системой неравенств  Такая область (рис. 4) является правильной в полярной системе координат (каждый луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более, чем в 2-x точках, за исключением участков границы, совпадающих с некоторым полярным лучом).

Преобразование двойного интеграла по области D к полярным координатам осуществляется при помощи формул

:

.

Полученный двойной интеграл в полярных координатах может быть сведен к повторному интегралу при помощи неравенств, задающих область D. В результате получаем формулу перехода от двойного интеграла к повторному интегралу в полярных координатах:

.

Некоторые приложения двойных интегралов

 Если подынтегральная функция f (x, y) º 1, то двойной интеграл от функции f (x, y) по области D равен площади области интегрирования:

.

Если область D занята тонкой пластинкой и  – поверхностная плотность распределения неоднородного материала (т.е. масса единицы площади), то при помощи двойного интеграла можно вычислить массу пластинки, ее статические моменты относительно осей координат и другие величины.

Масса пластинки: m = .

Статический момент относительно оси Ox:

.  (11)

Статический момент относительно оси Oy: My = .

Все перечисленные интегралы можно вычислить в декартовых либо в полярных координатах, переходя к соответствующему повторному интегралу.

ТЕОРЕМА 2 (достаточное условие существования точки
локального экстремума функции)

Пусть функция  непрерывна и дважды дифференцируема на ; для всякого   – непрерывная функция.

Тогда если 1)  и 2) , то при  точка  является точкой локального минимума функции ;

при    – точка локального максимума функции .

Доказательство. Пусть для определенности . Тогда по формуле Тейлора имеем

,

или

 ().

Поскольку порядок слагаемых в правой части равенства разный, то можно указать сколь угодно малое число , такое что в   и знак  совпадет со знаком , т.е. для рассматриваемого случая  получаем  для , . По определению это означает, что  – точка  функции .

Аналогично рассуждаем для .

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Криволинейный интеграл II рода (по координатам)

Векторное поле Поток векторного поля через поверхность

Потенциальные и соленоидальные векторные поля Ротор векторного поля

Ряды.Числовые ряды. Сложную функцию f(x) часто представляют как линейную комбинацию нескольких простых функций f(x) @ Pn(x). Это упрощает ее исследование. Чем больше простейших функций используется в Pn(x) , тем точнее приближение. При бесконечном росте числа слагаемых (n ® ¥) графики f(x) и ее апраксимации Pn(x)  могут совпасть полностью. Задачу нахождения аппраксимирующих функций решает теория рядов. Опр. Бесконечной числовой последовательностью наз. последовательность значений функции f(x) (определенной на всей числовой оси) при целочисленных значениях аргумента. Обозначения: un = f(n) , где n = 1, 2, 3, . . . или u1, u2, u3, . . . , un, . . . 
Решение типовых задач