Математика примеры решения задач курсовая
Первый и второй замечательные пределы
Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице, то есть . Этот предел называют первым замечательным пределом. С его помощью вычисляют пределы выражений, содержащих тригонометрические функции.
Пример. Функция является непрерывной справа в точке х = 0, слева же от этой точки она вообще не определена.
Точка разрыва функции, не являющаяся точкой разрыва первого рода или точкой устранимого разрыва, является точкой разрыва второго рода.
Теорема Больцано-Коши об обращении функции в нуль.
Определенный интеграл как функция верхнего предела
Пусть функция f(t) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число
,
определив тем самым на промежутке функцию I(x), которая называется определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в точке x=a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в точке x. Для этого сначала рассмотрим приращение функции в точке x при приращении аргумента Dx:
DI(x)=I(x+Dx)–I(x)=
.
Как показано на рисунке 1, величина последнего интеграла в формуле для приращения DI(x) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной штриховкой. При малых величинах Dx (здесь, так же как и везде в этом курсе, говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем в виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения могут быть и положительными и отрицательными) эта площадь оказывается приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке двойной штриховкой. Площадь прямоугольника определяется формулой f(x)Dx. Отсюда получаем соотношение
.
В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем меньше величина Dx.
Из сказанного следует формула для производной функции I(x):
.
Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x. Отсюда следует, что функция
является первообразной для функции f(x), причем такой первообразной, которая принимает в точке x=a значение, равное нулю. Этот факт дает возможность представить определенный интеграл в виде
. (1)
Пусть F(x) тоже является первообразной для функции f(x), тогда по теореме об общем виде всех первообразных функции I(x)=F(x)+C, где C — некоторое число. При этом правая часть формулы (1) принимает вид
I(x)–I(a)=F(x)+C–(F(a)+C)=F(x)–F(a). (2)
Из формул (1) и (2) после замены x на b следует формула для вычисления определенного интеграла от функции f(t) по промежутку [a;b]:
,
которая называется формулой Ньютона-Лейбница. Здесь F(x) — любая первообразная функции f(x).
Для того, чтобы вычислить определенный интеграл от функции f(x) по промежутку [a;b], нужно найти какую-либо первообразную F(x) функции f(x) и подсчитать разность значений первообразной в точках b и a. Разность этих значений первообразной принято обозначать символом
.
