Предел функции по Гейне Первое определение предела функции
Перейдём теперь к изучению одного из самых основных понятий математического анализа – понятию предела функции. Под «точками» будем понимать либо конечные точки, либо бесконечно удалённые, т. е. либо действительные числа, либо одну из бесконечностей ¥, +¥ или –¥. Дадим сначала определение предела функции в терминах пределов последовательностей. Это определение часто называют определением предела функции по Гейне.
Предел функции по подмножеству При рассмотрении пределов функции часто приходится иметь дело с пределами сужений функций на том или ином множестве, т. е. с пределами функций, получающихся из данных функций, рассмотрением их не на всём множестве, на котором они заданы, а на каком-то содержащемся в нём.
Непрерывные функции Критерий существования предела функции в точке Дадим теперь определение функции, непрерывной в данной точке. Пример. Все точки множества натуральных чисел ¥ изолированы, а множество ¤ всех рациональных чисел не имеет изолированных точек.
Приведем примеры перемножения матриц:
1)
=
=
=
=
;
2)
= (8, 4).
Если AB и BA одновременно определены, то, вообще говоря, эти произведения не равны. Это означает, что умножение матриц не коммутативно. Продемонстрируем это на примере.
.
Для алгебраических действий над матрицами справедливы следующие законы:
1) A + B = B + A;
2) a (A + B) = aA + aB;
3) (A + B) + C = A + (B + C);
4) (AB)C = A(BC);
5) A(B + C) = AB + AC.
Матрица, состоящая из одной строки, называется вектором (вектором-строкой). Матрица, состоящая из одного столбца, также называется вектором (вектором-столбцом).
Пусть имеется матрица A=(aij) размерности m´n, n-мерный вектор-столбец X и m-мерный вектор-столбец B:
;
.
Тогда матричное равенство
AX = B, (1)
если расписать его поэлементно, примет вид:
.
Таким образом, формула (1) является записью системы m линейных уравнений с n неизвестными в матричной форме. Ниже будет показано, что, записывая систему в сжатом виде, кроме краткости написания мы получаем и другие очень важные преимущества.
Пусть имеются две квадратные матрицы одинаковой размерности:
.
Требуется найти матрицу X, удовлетворяющую матричному уравнению
AX = D.
Из правила умножения матриц следует, что матрица X должна быть квадратной матрицей той же размерности, что и матрицы A и D:
.