Методы интегрирования Рассмотрим три основных метода интегрирования.Интегрирование элементарных дробей
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых тригонометрических функций
Интегралов от
тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов
вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие
типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда. Интеграл вида 
Здесь >R – обозначение некоторой рациональной
функции от переменных >sin>cosx . .
Интеграл произведения синусов и косинусов
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование биноминальных дифференциалов
Биноминальным дифференциалом называется выражение xm(a + bxn)pdx где m , n , и p – рациональные числа.
- Тригонометрическая подстановка
- Подстановки Эйлера Метод неопределенных коэффициентов
- Примеры
СвойстваВычисление определенного интеграла
Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.
Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.
Замена переменныхИнтегрирование по частямГеометрические приложения определенного интеграла
- Нахождение площади криволинейного сектора
- Пример: Найти длину окружности, заданной уравнением >x2 + y2 = r2.
- Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений
- Объем тел вращения
- Площадь поверхности тела вращения
Производные и дифференциалы функций нескольких переменных
Пример . Найти полный дифференциал функцииГеометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности..
Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала
Частные производные высших порядков
Экстремум функции нескольких переменных
Условный экстремумПроизводная по направлению
Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2>в точке А(1, 2) по направлению вектора. В (3, 0).
Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.
Вычисление двойного интеграла Пример. Вычислить интеграл
, если область интегрирования >D ограничена линиями
х = 0, х = у2, у = 2. При рассмотрении тройного инеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, т.к. существенных различий между ними нет.
Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в техмерном пространстве.
Цилиндрическая система координат
Геометрические и физические приложения кратных интегралов